Về thẩm quyền thực hiện đăng ký việc nuôi con nuôi:
Theo quy định tại khoản 1 Điều 2 Nghị định số 19/2011/NĐ-CP ngày 21/3/2011 của Chính phủ quy định chi tiết thi hành một số điều của Luật Nuôi con nuôi, trong trường hợp có sự thỏa thuận giữa người nhận con nuôi với cha mẹ đẻ của trẻ em được nhận làm con nuôi thì Ủy ban nhân dân cấp xã nơi thường trú của người nhận con nuôi thực hiện đăng ký việc nuôi con nuôi. Như vậy, trong trường hợp nêu trên xã X thực hiện đăng ký việc ông A nhận cháu H làm con nuôi là phù hợp với quy định của pháp luật hiện hành.